By Giroux A.
L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel. On y présente d'abord quatorze axiomes résumant toutes les propriétés des nombres réels que l'on prend pour acquises. À partir de là, on retrouve tout le calcul différentiel, en commençant par los angeles proposal de limite d'une suite ou d'une série numérique et son program à los angeles représentation décimale des nombres, en poursuivant avec los angeles concept de fonction proceed et l'étude de ses principales propriétés et en terminant par l. a. définition et les propriétés des fonctions dérivables, illustrées par le cas des fonctions convexes. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes. Il est, d'un aspect de vue purement logique, autonome mais, en fait, une familiarité avec le calcul différentiel est nécessaire pour le suivre aisément et bien en profiter.
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D. Th´ eor` eme 15 (Crit` ere de Cauchy) Une suite num´erique {an }n∈N est convergente si et seulement si elle satisfait la condition suivante : a chaque > 0 correspond un indice n tel que n, m > n implique ` |an − am | < . D´emonstration. La condition de Cauchy est n´ecessaire. Supposons que a = lim an n→+∞ existe. Donn´e > 0, il existe n tel que n > n implique |an − a| < /2. Par cons´equent, si n, m > n , |an − am | ≤ |an − a| + |am − a| < /2 + /2 = . La condition de Cauchy est suffisante. Nous montrons d’abord que la suite {an }n∈N contient une suite partielle convergeant vers un nombre a puis nous utilisons la condition de Cauchy pour montrer que la suite toute enti`ere converge vers a.
La suite {(−1)n }n∈N enfin est divergente. Exemple. √ Si a1 > 0 et an = an−1 , limn→+∞ an = 1. Si a1 ≥ 1, la suite {an }n∈N est d´ecroissante et minor´ee par 1 alors que si a1 < 1, elle est croissante et major´ee par 1. Dans les deux cas, a = limn→+∞ an existe et a > 0. Puisque √ √ a = lim an = lim an = a, n→+∞ n→+∞ il faut que a = 1. Th´ eor` eme 12 La suite de terme g´en´eral 1+ 1 n n est convergente. En d´esignant par e sa limite, e = lim n→+∞ on a 2 < e < 3. 32 1 1+ n n , D´emonstration. La suite est croissante : 1+ n n 1 n = k=0 n k n =2+ k=2 n ≤2+ k=2 1 k!
On aura donc |f (xn ) − L| < d`es que n > nδ ce qui montre que f (xn ) → L. Le premier ´enonc´e implique le second. Supposons en fait que la deuxi`eme assertion est fausse et montrons qu’alors la premi`ere est fausse elle aussi. Nous supposons donc qu’il existe > 0 pour lequel, quelque soit δ > 0, on peut trouver au moins un point xδ ∈ ]a, b[ pour lequel on a simultan´ement 0 < |xδ − x0 | < δ et |f (xδ ) − L| ≥ . 53 En choisissant successivement δ = 1, 1/2, 1/3, 1/4, . , on obtiendra une suite {xn }n∈N de points de ]a, b[ distincts de x0 pour laquelle on aura lim xn = x0 mais f (xn ) n→+∞ L.