Analysis 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im by Otto Forster

By Otto Forster

Der vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im IRn mit Anwendungen, insbesondere solche, die für die theoretische Physik suitable sind. Der textual content wurde für die 7. Auflage weiter überarbeitet und es kamen einige neue Aufgaben und Abbildungen sowie ein Symbolverzeichnis hinzu.

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2. Sei z∗ : P(:) → R+ ein a¨ ußeres Maß. Eine Teilmenge A ⊂ : heißt Carath´eodorymessbar bzgl. z∗ , falls (∗) z∗ (X ) = z∗ (X ∩ A) + z∗ (X A) f¨ur alle X ∈ P(:). Man zeige: Ist z : A → R+ ein Maß auf einer V-Algebra A ⊂ P(:) und z∗ : P(:) → R+ das zugeordnete a¨ ußere Maß, so ist jedes A ∈ A Carath´eodory-messbar bzgl. z∗ . Hinweis. Es gen¨ugt die Bedingung (∗) f¨ur den Fall nachzupr¨ufen, dass z∗ (X ) < f. 3. Das Cantorsche Diskontinuum wird folgendermaßen konstruiert: Aus dem Intervall [0, 1] entferne man das mittlere Drittel ] 13 , 23 [.

Sei A ⊂ P(:) wie folgt deſniert: z A := {A ∪ S : A ∈ A, S ⊂ : mit z∗ (S) = 0}. z Man rechnet leicht nach, dass A tats¨achlich eine V-Algebra ist und z durch z(A ∪ S) := z(A) f¨ur A ∈ A und z∗ (S) = 0 § 3 Fortsetzung eines Pr¨amaßes zu einem Maß 37 z z zu einem auf A deſnierten Maß fortgesetzt werden kann. Der Maßraum (:, A , z) ist die Vervollst¨andigung von (:, A, z). Die Vervollst¨andigung des Lebesgue-Borelschen Maßraums (Rn , B (Rn ), On ) ist der LeO O besguesche Maßraum (Rn , B (Rn ), On ).

Es gibt aber stets ein A ∈ A mit S ⊂ A und z(A) = 0. Denn wegen z∗ (S) = 0 existiert eine Folge Ak ∈ A, k 1, von Mengen mit S ⊂ Ak und z(Ak ) < 1/k. Dann ist T A := k Ak ∈ A mit S ⊂ A und z(A) = 0. Ein Maßraum (:, A, z) heißt vollst¨andig, wenn jede z-Nullmenge S ⊂ : bereits zu A geh¨ort. Ist der Maßraum nicht vollst¨andig, so kann man ihn durch Vergr¨oßerung der z V-Algebra vervollst¨andigen. Sei A ⊂ P(:) wie folgt deſniert: z A := {A ∪ S : A ∈ A, S ⊂ : mit z∗ (S) = 0}. z Man rechnet leicht nach, dass A tats¨achlich eine V-Algebra ist und z durch z(A ∪ S) := z(A) f¨ur A ∈ A und z∗ (S) = 0 § 3 Fortsetzung eines Pr¨amaßes zu einem Maß 37 z z zu einem auf A deſnierten Maß fortgesetzt werden kann.

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