Analysis Band 2: Ein Lernbuch by Ehrhard Behrends

By Ehrhard Behrends

Das Buch ist im Stil der research 1 geschrieben: Alles wird sehr ausf?hrlich motiviert und entwickelt, und wieder gab es eine besonders in depth Zusammenarbeit mit Studierenden. Neben dem ?blichen Stoff einer research 2 (Funktionenr?ume, Integration, Differentialrechnung f?r Funktionen in mehreren Ver?nderlichen) enth?lt das Buch eine Reihe von Besonderheiten, die es sonst in keinem Lehrbuch gibt. Zum Beispiel ist der Satz von Liouville enthalten, durch den garantiert wird, dass gewisse einfache Funktionen nicht geschlossen integriert werden k?nnen. Im Kapitel "Anwendungen der Integralrechnung" gibt es einen Abschnitt zur Zahlentheorie, in dem Transzendenzbeweise f?r konkrete Zahlen - unter anderem f?r die Zahl e - gef?hrt werden; in diesem Kapitel wird auch der Existenzsatz von Picard-Lindel?f behandelt. Und schlie?lich gibt es noch einen ausf?hrlichen Anhang zum Thema "Englisch f?r Mathematiker": used to be muss guy beachten, wenn guy sich auf Englisch ?ber Mathematik unterhalten m?chte?

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Mal angenommen, man weiß, dass irgendeine Teilmenge A von M von zweiter Kategorie ist. Entfernt man dann aus A eine Menge B erster Kategorie, so muss noch etwas übrig bleiben, es muss also A \ B i= 0 gelten: Denn andernfalls wäre ja A = B und folglich A von erster Kategorie. Das führt zur folgenden Strategie für Existenznachweise: • Man verschaffe sich ein A von zweiter Kategorie. • Angenommen, man möchte zeigen, dass A Elemente mit einer gewissen Eigenschaft E enthält. • Weise dann nach, dass die Menge der x E A, die E nicht haben, von erster Kategorie ist.

0 und folglich 0 Bemerkungen: 1. Der Satz wurde unter drei Voraussetzungen gezeigt: M ist vollständig; die (K n ) bilden eine absteigende Folge; die Folge (rn) konvergiert gegen Null. Alle drei sind wesentlich: • Die Vollständigkeit von M: Im metrischen Raum 10, 3 [ betrachten wir Xn := r n := l/n für n = 1,2, ... Dann ist K n := K rn (x n ) = 10, 2/n l. • , aber K n = 0. n • Die Kugeln müssen absteigen: Das ist eine offensichtliche Voraussetzung, man könnte als Gegenbeispiel etwa K n := K1/n(n) in lR betrachten; der Raum ist vollständig, es gilt r n = l/n -+ 0, und trotzdem ist wieder nKn = 0.

Die bei allen Xj punktweise konvergent ist, erinnert stark an den Beweis des Charakterisierungssatzes kompakter Teilmengen des lK n : • Betrachte (jn(Xt))nEN. ) beschränkt ist, eine beschränkte Folge in lK. , (xt))k,EN. , (X2)) k, EN" Das ist wieder eine beschränkte Folge, folglich kann man eine konvergente Teilfolge (jn' 2 (X2) ) k2 EN finden; man beachte, dass auch (j n' 2 (xt) ) k2 EN als Teilfolge der konvergenten Folge (j (xt)) k, EN konvergiert. = (Xi)) k=EN für 1 ~ i ~ m konvergiert. )kjEN =: (j~)nEN: It li IJ 11 It It I?

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