Analysis by Stefan Hildebrandt

By Stefan Hildebrandt

Das vorliegende Lehrbuch ist als Leitfaden f?r eine zwei- oder dreisemestrige Analysis-Vorlesung gedacht und richtete sich an Studierende der Mathematik und Physik sowie an mathematisch interessierte Studierende der Informatik und der exakten Wissenschaften. Ausf?hrliche Beweise und Erl?uterungen sowie zahlreiche Beispiele und interessante ?bungsaufgaben eignen es sehr intestine f?r das mathematische Selbststudium. Ein klarer und ?bersichtlicher Aufbau und eine geschickte Gliederung des Stoffes erm?glichen, das erste Studium auf Kernbereiche zu beschr?nken. Dem Dozenten werden vielf?ltige M?glichkeiten geboten, je nach artwork der Vorlesung verschiedene Schwerpunkte zu setzen und geeignete Wege zur Darstellung des Stoffes zu w?hlen. Geometrische instinct und historische Motivation in Verbindung mit einer ma?vollen Abstraktion kennzeichnen diese moderne Einf?hrung in die Analysis.

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H. x2 ∈ [a2n , b2n ]. Wegen 0 < b2n − a2n = (bn + an )(bn − an ) ≤ 2b1 |In | → 0 ist auch {[a2n , b2n ]} eine Intervallschachtelung, und sie erfaßt sowohl x2 als auch c. Also gilt x2 = c. Freilich ist dieses Verfahren nicht√ sehr schnell und verlangt einen großen Rechenaufwand; zur numerischen Approximation von c ist es wenig geeignet. Wir werden deshalb in K¨ urze noch ein √ zweites Verfahren angeben, das bereits mit wenigen Rechenschritten gute N¨ aherungswerte f¨ ur c liefert. Aufgaben. 1. F¨ ur beliebige a, b ∈ R ist zu zeigen: max{a, b} = 1 (a + b + |a − b|) , 2 min{a, b} = 1 (a + b − |a − b|) .

Vollst¨ andige Induktion, Satz von Archimedes, etc. 19 Wir u ¨berlassen die Details dem Leser. Wir haben also N und Z in unserer axiomatisch definierten Menge wiedergefunden, und die Menge Q der rationalen Zahlen ergibt sich als Q := {p/q : p, q ∈ Z , q = 0} . Die Elemente von R\Q sind die irrationalen Zahlen. Wir wollen jetzt die St¨ arke des Axioms (III) an einem ersten Beispiel kennenlernen. Satz 5. (Satz von Archimedes) Zu jedem a ∈ R gibt es ein n ∈ N, so daß a < n gilt. Beweis. Anderenfalls g¨ abe es ein a ∈ R mit n ≤ a f¨ ur alle n ∈ N .

Dann folgt wegen 1 + a > 0 und ka2 ≥ 0, daß (1 + a)k+1 = (1 + a)(1 + a)k ≥ (1 + a)(1 + ka) = 1 + ka + a + ka2 ≥ 1 + (k + 1)a . 2 Versch¨ arfung der Bernoullischen Ungleichung. F¨ ur n ∈ N mit n ≥ 2 und f¨ ur a > −1 , a = 0, gilt (4) (1 + a)n > 1 + na . Zum Beweis bedienen wir uns der folgenden Variante des Induktionsprinzips: Sei f¨ ur jedes n ∈ N0 mit n ≥ n1 eine Aussage Bn gegeben derart, daß gilt: (i) Bn1 ist richtig. ur ein irgendwie gew¨ ahltes n ∈ N0 mit n ≥ n1 (ii) Aus der Annahme, daß Bn f¨ gilt, folgt stets die Richtigkeit von Bn+1 .

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