Lehrbuch der Analysis: Teil 2 by Harro Heuser

By Harro Heuser

F?r den zweiten Teil des "Lehrbuchs der research" gelten dieselben Prinzipien wie f?r den erste: sorgf?ltige Motivierungen der tragenden Begriffe, leicht fassliche Beweise, erhellende Bespiele ("Bruder Beispiel ist der beste Prediger."), nicht zuletzt Beispiele, die zeigen, wie analytische Methoden in den verschiedensten Wissenschaften eingesetzt werden, von der Astronomie bis zur ?konomie. Der Leitgedanke ist wieder, das ?nderungsverhalten von Funktionen zu studieren und aus ?nderungen "im Kleinen" Ausk?nfte ?ber ?nderungen "im Gro?en" zu gewinnen; freilich handelt es sich diesmal um Funktionen von mehreren Ver?nderlichen. Um dies in einen modernen Kontext einzuf?gen, werden Banachr?ume, Banachalgebren und Topologische R?ume herangezogen, ferner wird ein angemessenes Gewicht auf das Lebesguesche vital und auf Fixpunkts?tze (mit verbl?ffenden Anwendungen) gelegt. Das Buch endet mit einer Darstellung der geschichtlichen Entwicklung der research von den Phythagoreern bis Weierstra?.

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F? r den zweiten Teil des "Lehrbuchs der research" gelten dieselben Prinzipien wie f? r den erste: sorgf? ltige Motivierungen der tragenden Begriffe, leicht fassliche Beweise, erhellende Bespiele ("Bruder Beispiel ist der beste Prediger. "), nicht zuletzt Beispiele, die zeigen, wie analytische Methoden in den verschiedensten Wissenschaften eingesetzt werden, von der Astronomie bis zur ?

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Sei BE@)(RP, Rq) und A E @) (Rq, R'), schematisch: Dann ist AB eine lineare Abbildung von RP nach Rr. II [A]:= ( : ... O:lq) und O:rl ... II ... ßIP) : ßql ... ßqp berechnen kann? Für einen beliebigen Vektor (xt. , x p) aus RP ist P B(xt. , x p)= (Yt. ···,Yq) mitYj= L ßjkXk U=1, ... ,q), k~1 q A (vt. , Yq) = (zt. , zr) mit Zi = L O:ijYj (i=1, ... ,r). j~1 Daraus erhalten wir (i= 1, ... , r), oder also P zi=L/'ikXk füri=1, ... ,r mit k~1 q für i= 1, ... , rund /'ik:= L O:ijßjk k= 1, ... ,p. j~1 Somit ist [AB] =: /'11 ••• ( /'IP) /'rl ...

Vervielfachung der zugeordneten Vektoren über. Der lineare Raum 'i1R(q,p) ist also nichts anderes als der Vektorraum Rqp, und somit ist jede Norm H auf'i1R(q, p) gleichzeitig eine Norm auf Rqp und umgekehrt. 8 ergibt sich nun sofort, daß alle Normen auf'i1R(q,p) äquivalent sind und die Konvergenz (ajZ)-+(ajk) bezüglich irgendeiner Norm gleichbedeutend ist mit der elementweisen Konvergenz (j= 1, ... , q; k= 1, ... ,p). h. einer Norm auf dem Matrizenraum '1R(q,p» oder auch mittels der elementweisen Konvergenz tun, man ist nicht auf eine Abbildungsnorm angewiesen.

B J: (s. 6c). Ik (s, 1)1 d/. 7. A: /"'-+/'" sei durch A (x" X2, ... ) definiert. Zeige: a) A ist injektiv und stetig mit IIAII = 1. A ist aber nicht surjektiv. b) Die Umkehrabbildung A - I ist nicht stetig. 8. A ist genau dann beschränkt, wenn das Bild jeder beschränkten Menge beschränkt ist. 9. An und A seien aus E(E, 1'). Genau dann gilt An ~ A, wenn die Folge (Anx) auf jeder beschränkten Teilmenge M von E gleichmäßig gegen A x konvergiert, wenn es also zu jedem derartigen M und jedem e>O ein no=no(e, M) gibt, so daß für alle n>no und alle xeM stets IIAnx-Axll

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